Karakteristična impedanca plazmenog talasovoda: tretman metodom fiksne tačke

KARAKTERISTIČNA IMPEDANCA PLAZMENOG TALASOVODA:

TRETMAN METODOM FIKSNE TAČKE

V. BABOVIĆ, M. KOVAČEVIĆ i K. KANJEVAC

Prirodno-matematički fakultet, Kragujevac, SiCG, vukot@kg.ac.yu

sažetak

Bitne karakteristike u problemu prostiranja elektromagnetskih talasa kroz plazmene talasovode (oni mogu uključivati i spiralni provodnik) često su računate, i u novijoj literaturi, približno, primenom tzv. kvazistatičke aproksimacije. Vođeni talasi sa plazmenim strukturama u raznim geometrijama mogu se numerički efikasno tretirati metodom fiksne tačke u okviru standardnih softverskih paketa kojima se opslužuju postojeći personalni kompjuteri. U radu se ovaj postupak primenjuje za preciziranje vrednosti karakteristične impedance aksijalno-simetričnog talasa u talasovodu sa cilindričnom plazmom u spirali, prevashodno u oblasti malih talasnih brojeva.

Ključne riječi: Plazmeni talasovod sa spiralom, Aksijalno-simetričan talas, Karakteristična impedance, Metod fiksne tačke

1. Uvod

Nedavno je B. A. Aničin u radu [1] iscrpno tretirao zanimljivi problem prostiranja elektromagnetskih talasa duž žičanog kalema smeštenog u perfektnom metalnom cilindru i sa plazmom u unutrašnjosti kalema. Posebna pažnja posvećena je specifičnostima disperzione relacije na ovoj vođici; pored fizičkih razmatranja novih efekata uslovljenih interakcijom kalema i plazme, autor je došao i do Broluenovih dijagrama koje je, zbog lakšeg tretmana, prezentirao primenom kvazistatičke aproksimacije. Istim postupkom prikazan je u radu i grafik karakteristične impedance za spregnuti aksijalno-simetrični talas.

U nekoliko smo tekstova [2, 3, 4] prethodnih godina analizirali problem poboljšanog numeričkog tretiranja raznih veličina koje se kao bitne pojavljuju u zadacima prostiranja talasa po vođicama koje uključuju plazmene strukture raznih geometrija i namena. Pokazali smo da je metod fiksne tačke primeren formulama koje nastaju u ovim fizičkim sistemima. Analizirajući strukture površinskih funkcija u raznorodnim kombinacijama i tretirajući mnogobrojne konkretne situacije uverili smo se da je numerički postupak koji smo razvili brzo konvergentan i celishodan, te se na efikasan način uklapa u šire numeričke i grafičke zahteve obrade rezultata kod vođenih plazmenih talasa.

U ovom radu primenili smo metod fiksne tačke za izračunavanje karakteristične impedance sa ciljem da se prevaziđe ograničenje kvazistatičke aproksimacije u oblasti niskih talasnih brojeva, proceni značaj korekcije i eventualno naznače druga odstupanja, ako ih ima. U narednom odeljku ćemo, radi udobnosti čitanja, dati definiciju karakteristične impedance, kraće napomene i završnu njenu formulu.

2. Karakteristična impedanca

Posmatrana vođica se sastoji od pravog, cilindričnog jednoslojnog kalema poluprečnika $a$ čija je unutrašnost ispunjena homogenom hladnom plazmom permitivnosti $\varepsilon =1-\omega ^{2}/\omega _{\text{P}}^{2}$, pri čemu je $\omega$ kružna učestanost talasa, a $\omega _{\text{P}}$ kružna plazmena učestanost. Oko centralnog jezgra nalazi se metalni cilindar poluprečnika $b=da$ ($d$ je parametar debljine spoljašnjeg dielektrika, za koji ćemo odmah pretpostaviti da je vazduh).

Karakteristična impedanca se u talasovodima najčešće definiše kao količnik odgovarajućih komponenti jačina električnog i magnetskog polja. Ekvivalentni pristup, koji uočava vezu talasovoda sa konceptom koaksijalnog kabla, podrazumeva da se u definiciji smeju upotrebiti pogodno izabrani napon i struja. Ovde su to napon između kalema i spoljašnjeg metalnog cilindra i struja kroz kalem. Prethodno se definišu podužna induktivnost i podužni kapacitet u sistemu. Prva veličina je povezana sa aksijalnom komponentom električnog polja preko relacije

$${L''}=2\pi a\frac{E_{\phi }\left(a\right)}{-j\omega I}\frac{1}{p}.$$

Ovde je $I$ struja kalema a $p$ korak spirale. Podužni kapacitet je moguće naći iz relacije

$${C''}=\frac{1}{\text{v}_{\text{ph}}^{2}{L''}},$$

gde je $\text{v}_{\text{ph}}$ fazna brzina talasa. Na taj je način normalizovana karakteristična impedanca data izrazom

$$Z_{\text{cn}}=\text{v}_{\text{ph}}\frac{\sqrt{\varepsilon _{0}}}{\sqrt{\mu _{0}}}{L''}.$$

Za detalje povezivanja fazne brzine i podužne induktivnosti sa veličinama elektromagnetskog polja upućujemo čitaoca na [1] . Mi ćemo sada ispisati završnu formulu:

$$Z_{\text{cn}}=\frac{C}{h_{1}aA+h_{2}aB}.$$

Za skraćivanje zapisa upotrebljene su sledeće oznake:

$$A=\frac{I_{0}\left(h_{1}a\right)}{I_{1}\left(h_{1}a\right)},$$ $$B=\frac{K_{0}\left(h_{2}a\right)/K_{1}\left(h_{2}b\right)+I_{0}\left(h_{2}a\right)/I_{1}\left(h_{2}b\right)}{K_{1}\left(h_{2}a\right)/K_{1}\left(h_{2}b\right)-I_{1}\left(h_{2}a\right)/I_{1}\left(h_{2}b\right)},$$ $$C=\frac{1}{2\pi }\frac{y}{x}\left[\tan \psi \right]^{-2}.$$

U izrazima figurišu pojedine modifikovane Beselove funkcije naznačenih argumenata i indeksa. Napomenimo da je $x=\beta a$ normalizovani talasni broj i $y=\omega a/c$ normalizovana kružna učestanost talasa, a $c$ je brzina svetlosti u vakuumu. Još je ovde

$$h_{1}a=\sqrt{x^{2}-y^{2}\varepsilon _{\text{P}}},\quad \quad h_{2}a=\sqrt{x^{2}-y^{2}},$$

dok je $\tan \psi =p/\left(2\pi a\right)$. Evaluacija izraza (1.4) otežana je činjenicom da je karakteristična impedanca funkcija kako talasnog broja tako i učestanosti. Disperziona funkcija, koju ovde nećemo ispisati, a data je u radu [1], nije poznata u eksplicitnom obliku. Ona je poznata u eksplicitnom obliku samo u aproksimativnom slučaju tzv. kvazistatičkog postupka kada je sa dobrim razlozima $h_{1}a\approx h_{2}a\approx x$.

3. Primena metoda fiksne tačke

Iskoristićemo pogodnost da se disperziona jednačina, u ovom kao i u mnoštvu sličnih slučajeva, može na prirodan način zapisati primenom šeme $y\left(x\right)=F\left[x,y\left(x\right)\right]$. Ovde je $F$ više ili manje složena, ali poznata funkcija za svaku definisanu vođicu koju smo u [2] nazvali površinska funkcija strukture. Izračunavanje počinje usvajanjem nultog aproksimanta $y_{0}\left(x\right)$ ; on prosto može biti kvazistatički izraz. Posle toga stiže se do poboljšanog, prvog aproksimanta $y_{1}\left(x\right)=F\left[x,y_{0}\left(x\right)\right]$. Iteraciona se procedura onda može nastaviti do postizanja željene tačnosti u N koraka, $y_{\text{N}}\left(x\right)=F\left[x,y_{\text{N}-1}\left(x\right)\right]$. Nisu retki primeri kada već prvi ili drugi aproksimant zadovoljava.

Razvili smo program koji opisanu proceduru primenjuje u okviru savremenih PC standardnih matematičkih paketa. Jedan karakterističan rezultat izračunavanja prikazan je na Slici 1. Crtež je realizovan

Slika 1. Karakteristična impedanca u funkciji normalizovanog

talasnog broja. Za vrednosti parametara videti tekst

za sledeći niz vrednosti parametara: $d=3$, $tan\psi =0.1$, uz jedinični parametar gustine i jediničnu permitivnost okolnog dielektrika. Kriva je monotono opadajuća za sve vrednosti talasnih brojeva. Sa smanjenjem parametra gustine smanjuje se karakteristična impedanca.

4. Analiza rezultata i zaključak

Da bismo videli kako otstupa grafik nacrtan po metodu fiksne tačke od kvazistatičkog grafika, pripremili smo primer na Slici 2. Ovaj grafik se odnosi za pomenute uz prethodnu sliku vrednosti parametara

Slika 2. Karakteristična impedanca u funkciji normalizovanog

talasnog broja. Isprekidana linija: kvazistatika; puna linija: metod fiksne tačke. Za vrednosti parametara videti tekst

jedino je manji parametar gustine i ovde iznosi $p_{G}=0.3$. Vidljiva razdvajanja dve krive nastaju tek kada je $x<1$. Ova se uslovna granica povećava kada raste parametar gustine. Jasno je da odstupanja nisu dramatična i da je prosti postupak u okviru nulte aproksimacije u dobrom delu relevantnog opsega sa slike sasvim delotvoran. Taj rezultat nije očevidan pošto se zna iz mnogih primera sa vođenim plazmenim talasima da uprošćena disperziona jednačina pokazuje znatne defekte baš u oblasti malih talasnih brojeva. Kvantitativni uvid u postojeće razlike može se steći ako pogledamo našu Tabelu 1. Ona pokazuje koliko odstupa u procentima nulti aproksimant od (uslovno rečeno) tačne vrednosti nađene metodom fiksne tačke. Uverili smo se da sprihvaćeni broj iteracija dovodi do praktično nepromenljivog rešenja, kada dalji rast broja N nema efekta. Na primer, za jediničnu vrednost normalizovanog broja i pomenuti set parametara sa Slike 2, treća iteracija daje odstupanje od 1.01616%, a četvrta iteracija 1.01614%. Metod računanja ima u sebi ugrađen mehanizam brze provere tačnosti računa.

Tabela 1. Greška računanja karakteristične impedance kvazistatičkim metodom

x	$\delta$	x	$\delta$
0.1	3.74815	0.8	1.44580
0.2	3.49860	0.9	1.24356
0.3	3.14296	1.0	1.08111
0.4	2.74347	1.1	0.95095
0.5	2.35120	1.5	0.63961
0.6	1.99744	2.0	0.48486
0.7	1.69533	3.0	0.41735

Vidimo da za $p_{G}=0.3$ greška početne aproksimacije nije veća od pet procenata i pada na vrednost manju od jednog procenta već za talasne brojeve oko jedinice. Ta uslovna granica od jednog procenta raste kada raste parametar gustine i ovde možemo dati sledeće primere: a) $p_{G}=0.5$ daje $x_{g}=1.6$, b)$p_{G}=0.7$ daje $x_{g}=2.3$ i c) $p_{G}=0.9$ daje $x_{g}=2.9$.

5. Literatura

[1] B. A. Aničin, J. Phys. D: Appl. Phys. 33 (2000), pp. 1-6.

[2] V. Babović, M. Kovačević, J. Res. Phys. 29 (2002), pp. 5-12.

[3] K. Kanjevac, V. Babović, M. Kovačević, Krag. J. Sci. 25, (2003), pp. 31-40,

[1] K. Kanjevac, V. Babović, M. Kovačević, BPU-5, Aug. 25-29, 2003, V. Banja, pp. 1121-1124.