Idealni gas

S e d m o p r e d a v a nj e

IDEALNI GAS

Molekuli u supstanciji

Atom je najmanji delić hemijskog elementa, nosilac je njegovih hemijskih osobina. Hemijski elementi grade složenije strukture, jedinjenja. Gradivni delovi jedinjenja su molekuli (sastavljeni od dva ili više atoma).

Količina supstancije je jedna od sedam osnovnih fizičkih veličina u SI sistemu jedinica. Jedinica količine supstancije je mol. (Fizičari radije upotrebljavaju kilomol.) Količina supstancije $\nu$ je mera za broj gradivnih elemenata date supstancije:

$$\nu =\frac{m}{\mu }=\frac{N}{N_{\text{A}}}. \tag{1}$$

Ovde je m ukupna masa svih molekula u posmatranoj zapremini, $\mu$ molna masa (masa jednog kilomola, meri se u kilogramima po kilomolu), N broj molekula u toj zapremini i $N_{\text{A}}$ je Avogadrov broj (broj molekula u jednom kilomolu).

Avogadrov broj je izmeren i iznosi

$$N_{\text{A}}=6,023\cdot 10^{26}\;\text{kmol}^{-1}. \tag{2}$$

Može se prosto reći da broj kilomola datog tela predstavlja njegovu količinu supstancije.

Koliki je molekul?

Masa jednog molekula, prema gornjim jednačinama, iznosi:

$$m_{0}=\frac{\mu }{N_{\text{A}}}. \tag{3}$$

Kolika je ta čestica? Da znatiželjnicima dočara sićušnost molekula, smislio je svojevremeno lord Kelvin ovakvu živopisnu priču.

Zamislimo da smo sve molekule u čaši vode nekako markirali (na primer obojili — dopustimo da je to moguće). Potom smo prosuli tu vodu u okean i (ne pitajte kako) ravnomerno pomešali sa ukupnom vodom naše Planete. Posle toga, nasumce smo, svejedno odakle, napunili našu čašu vodom. Koliko je sada obojenih molekula u čaši? Jedan, deset, hiljadu? U čaši je bila masa $m$ vode, ukupno $N$ obojenih molekula $\text{H}_{2}\text{O}$. Zato je

$$N=\frac{m}{\mu }N_{\text{A}}. \tag{4}$$

Gustina obojenih molekula (njihov broj po jednom kilogramu) posle mešanja iznosi $\rho =N/M$, gde je $M$ ukupna masa vode na Zemlji. To znači da ćemo, kad ponovo napunimo čašu, u njoj zateći ovaj broj obojenih molekula:

$$N=m^{2}\frac{N_{\text{A}}}{M\mu }. \tag{5}$$

Procenjuje se da Zemlja ima $M=10^{20}$ kilograma vode. Molna masa vode iznosi $\mu =18$ kilograma po kilomolu. Uzmimo da je $m=180$ grama. Tada nalazimo $n=10841$ obojenih molekula.

Na Kelvinovim predavanjima, slušaoci su bili zapanjeni ovom činjenicom — da sadržaj jedne čaše može zagaditi Planetu!

Svojim studentima često postavljam sledeće pitanje (koje je tek varijanta ove klasične dosetke). Da li biste bili multimilioneri, pod pretpostavkom da imate toliko zlata da možete po svakom kvadratnom milimetru Zemlje da prospete po šest molekula?

Neka je Zemlja idealna kugla, sa perfektno glatkom površinom $S=4\pi R^{2}$. Ako je $S_{0}=1\;\text{mm}^{2}$, potrebno nam je $N=6S/S_{0}$ molekula zlata. Zlato ima molnu masu $\mu =197$ kg/kmol. Zato je masa zlata

$$m=24\pi \mu \frac{R^{2}}{N_{\text{A}}S_{0}}. \tag{6}$$

Je li ovo puno dragocenog metala? Ne naročito: Stavimo $R=6378$ kilometara (videti peto predavanje); dobijamo masu od jednog grama zlata. Ni govora o multimilionerstvu!

Ova se priča o rasejanju po Planeti malenih atoma obistinila u bukvalnom i dovoljno jezivom smislu. Godine 1986, 26. aprila, dogodio se akcident u Ukrajinskom mestu Černobilju. Eksplodirao je nuklearni reaktor i radioaktivni oblak prekrio je ogromna prostranstva, stižući i do naših krajeva. Na listovima salata u našim baštama taložili su se sićušni černobiljski radioaktivni atomi…

Molekul vode

Vratimo se našoj relaciji (3). Izračunajmo po njoj masu molekula vode. Stavljajući već navedene vrednosti, dobijamo

$$m=2,988\cdot 10^{-26}\;\text{kg}. \tag{7}$$

Na donjoj slici vidimo umetničku viziju molekula vode, ali i naučne podatke o atomima-konstituentima i njihovom prostornom rasporedu.

Sl. 1 Kako „izgleda” molekul vode

Rastojanje centara atoma kiseonika i vodonika iznosi $d=0,9584\cdot 10^{-10}$ metara, ugao koji zaklapaju potezi iz centra kiseonika do centara vodonika je $\alpha =$ 104,45 stepeni.

Braunovo kretanje

Prvo neposredno opažanje postojanja molekula dao je britanski botaničar Robert Braun 1827. Primetio je da suspenzija polenovog praha u vodi pokazuje, pod mikroskopom, neprekidno haotično kretanje. Kretanje je neuređeno, i ne može da se zaustavi. Može da se uspori, ako preparat hladimo; može kretanje da postane živahnije, ako preparat zagrejemo. Prirodnjaci su ubrzo shvatili da mogu da prodube definiciju temperature (za koju su do tada govorili da je mera zagrejanosti tela); kvalitativno, temperaturu su počeli da tumače kao rezultat kinetičke energije molekularnog kretanja. Malo kasnije ćete pročitati kako je oformljena molekulsko-kinetička teorija gasa u kojoj je precizirano da je srednja kinetička energija molekula proporcionalna apsolutnoj temperaturi, a konstanta proporcionalnosti egzaktno određena.

Sl. 2 Levo: Robert Brown (1773 — 1858); desno: Jean Baptiste Perrin (1870 — 1942)

Male čestice koje lebde u tečnosti teorijski je briljantno studirao Ajnštajn 1905. godine. Pokazao je da sudari s okolnim molekulima dovode do toga da se sićušna čestica u fluidu haotično kreće.

Sl. 3 Perenov crtež Braunovog kretanja sitne čestice u tečnosti

Detaljne eksperimentalne studije Braunovog kretanja, imajući u vidu Ajnštajnove teorijske rezultate, preduzeo je francuski fizičar Peren. Godine 1908. uspešno je merio raspodelu česticâ smole gumiguta suspendovanih u vodi. Uspeo je da dobije sigurne vrednosti za Avogadrov broj. Dao je pouzdanu procenu veličine molekula vode. Naučnici su njegov rad prihvatili kao konačan dokaz egzistencije atoma; dobio je Nobelovu nagradu za fiziku 1926.

Šternov eksperiment

Oto Štern, nemački fizičar, eksperimentalno je merio (1920) brzine molekula pomoću uređaja šematski prikazanog na Sl. 4. Aparatura se sastoji od dva koaksijalna cilindra Z1 i Z2; iz međuprostora je evakuisan vazduh. Na osi cilindara se nalazi posrebrena platinska žica koja se usija, te molekuli

srebra isparavaju. Atomi prolaze kroz uski prorez na unutrašnjem cilindru i kreću se pravolinijski (radijalno) do većeg cilindra gde udaraju u unutrašnji zid cilindra. Ako cilindri miruju, svi atomi stižu u tačku M.

Sl. 4 Kako je Oto Štern razmišljao o svom opitu

Ako oba cilindra rotiraju ugaonom brzinom ω, molekuli padaju u tačku N. Eksperimenti su pokazali da atomi ne padaju samo u jednu tačku N nego i u okolinu te tačke. To se može protumačiti različitim radijalnim komponentama brzina molekula.

Uzmimo da je atom prešao put $\ell$, krećući se brzinom $v$ . Do zida će stići za vreme

$$\Delta t=\frac{\ell }{v}. \tag{8}$$

Za to isto vreme se cilindri obrnu za ugao:

$$\Delta \varphi =\omega \Delta t. \tag{9}$$

Udaljenost tačke N od M iznosi:

$$\overset{\frown}{NM}=\ell \Delta \varphi. \tag{10}$$

Iz ovih relacija dobijamo, ako stavimo $\Delta s=\overset{\frown}{NM}$:

$$v=\frac{\omega \ell ^{2}}{\Delta s}. \tag{11}$$

Mereći ugaonu brzinu rotacije cilindara, poluprečnik velikog cilindra i rastojanje tačke N u koju je molekul udario od tačke M, određujemo brzine atoma srebra. Sl. 5 prikazuje eksperimentalne rezultate; tamo vidimo procenat prispelih atoma srebra (za datu temperaturu žice) na dati položaj tekuće tačke N (za dato $\Delta s$).

Sl. 5 Uz tumačenje Šternovih rezultata

Malo je tragova atoma srebra vrlo blizu tačke M, i malo ih je vrlo daleko od tačke M. Oko tačke M talože se vrlo brzi atomi, a oni sporiji sve dalje od tačke M. Postoji mesto gde atomi najčešće padaju (tačka N); odgovarajuća brzina (koja zavisi od temperature žice) je najverovatnija brzina molekula.

Maksvelova raspodela

Ovaj eksperiment, i potonji znatno poboljšani eksperimenti, potpuno su potvrdili zakon raspodele molekula po brzinama, koji je teorijski ustanovio Maksvel. Maksvelova funkcija raspodele molekula po brzinama predviđa

$$F\left(v\right)=\left(\frac{m}{2\pi k_{\text{B}}T}\right)^{3/2}\exp \left(-\frac{mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}\right)4\pi v^{2}. \tag{12}$$

Funkcija $F\left(v\right)$ predstavlja verovatnoću da molekul ima brzinu u jediničnom intervalu brzina oko $v$. Bolcmanova konstanta ima vrednost $k_{\text{B}}=1,38\cdot 10^{-23}$ J/K (džul kroz kelvin). Primera radi nacrtajmo ovu funkciju za molekule vodene pare na temperaturi $T=500$ kelvina. Dobijamo grafik sa Sl. 6.

Sl. 6 Maksvelova raspodela molekula po brzinama

Nađimo položaj maksimuma raspodele. Treba izjednačiti sa nulom prvi izvod funkcije (12). Dobija se najverovatnija brzina:

$$v_{\text{m}}=\sqrt{\frac{2k_{\text{B}}T}{m}}. \tag{13}$$

U našem primeru je $v_{\text{m}}=679,594$ m/s, dakle oko 680 metara u sekundi. Može se izračunati i srednja brzina molekula mase $m$ na temperaturi $T$. Navodimo rezultat bez dokaza:

$$\bar{v}=\sqrt{\frac{8k_{\text{B}}T}{\pi m}}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}v_{\text{m}}. \tag{13a}$$

Brzine $\bar{v}$ i $v_{\text{m}}$ se neznatno razlikuju ($2/\sqrt{\pi }\approx 1,128$). Ponekad, korisno je imati u vidu još jednu varijantu srednje brzine, srednju kvadratnu brzinu

$$\sqrt{\overline{v^{2}}}=\sqrt{\frac{3k_{\text{B}}T}{m}}. \tag{13b}$$

Vidimo da srednja brzina, bez obzira o kojoj varijanti je reč, zavisi od apsolutne temperature T molekula i mase jednog molekula.

Tako je postepeno napredovalo učenje o molekulima, da bi početkom dvadesetog veka preraslo u solidno zasnovanu teoriju koju zovemo molekulsko kinetička teorija supstancije. Pobedilo je shvatanje da postoje atomi i molekuli i da su ove mikročestice u stanju neprekidnog kretanja u međumolekulskom prostoru u supstanciji.

Idealni gas

U prvoj aproksimaciji (model idealnog gasa), molekule zamišljamo kao elastične kuglice zanemarljive zapremine. Sudari među molekulima i sa zidovima suda su apsolutno elastični. Pri tim sudarima dolazi do razmene impulsa među molekulima, po zakonima koje smo izučavali u poglavlju o sudarima.

Sl. 7 Razmišljamo o pritisku u fudbalskoj lopti

Posmatrajmo idealni gas u fudbalskoj lopti (Sl. 7); ona je sfera poluprečnika $r$. Pokušajmo da shvatimo poreklo pritiska gasa u toj zapremini, primetnog kroz zategnutu površinu lopte koja je stekla i elastična svojstva pogodna za fudbalsku igru, na primer.

Udarom u zid suda u tački A molekul mase $m$ menja svoj impuls. Pogledajmo na Sl. 8 komponente impulsa u pravouglom sistemu vezanom za tačku udara.

Sl. 8 Izvodimo formulu za pritisak u gasu

Za promenu horizontalne komponente pišemo (uz razumnu pretpostavku da je odbojni ugao jednak upadnom uglu)

$$\Delta p_{\text{x}}=-mv_{\text{x}}-mv_{\text{x}}=-2mv_{\text{x}}. \tag{14}$$

Ovo je ujedno i ukupna promena impulsa, pošto je $\Delta p_{\text{y}}=0$. Impuls koji molekul predaje zidu ima isti iznos (14), ali je sa promenjenim znakom:

$$\Delta p=2mv\cos \varphi. \tag{15}$$

Sada ćemo dodatno uprostiti sliku pojave. Neka je brzina molekula srednja brzina za sve molekule i neka molekul doživljava $N_{1}$ sudara sa zidom dok obiđe poligon obima $O=N_{1}\cdot r\cos \varphi$ za vreme

$$\Delta t=\frac{O}{v}. \tag{16}$$

Tada je ukupna srednja sila kojom deluju svi molekuli na zid jednaka

$$F=\frac{\text{promena}\;\text{impulsa}}{\text{interval}\;\text{vremena}}=N\frac{N_{1}\Delta p}{\Delta t}. \tag{17}$$

Ovde je $N$ ukupan broj molekula u lopti. Zamenjujući $\Delta p$ i $\Delta t$ nalazimo

$$F=N\frac{mv^{2}}{r}. \tag{18}$$

Pritisak molekula na zid lopte površine $S=4\pi r^{2}$ iznosi

$$p=N\frac{mv^{2}}{4\pi r^{3}}. \tag{19}$$

Zapišimo ovaj rezultat u obliku

$$p=\frac{1}{3}nmv^{2}. \tag{20}$$

Uzeli smo da je zapremina lopte $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ i definisali koncentraciju čestica

$$n=\frac{N}{V} \tag{21}$$

kao broj molekula po jedinici zapremine Dobili smo važnu relaciju (20) za pritisak idealnog gasa. Ona se često naziva osnovna relacija molekulsko-kinetičke teorije. Korisno je primetiti da (20) može pisati i u obliku

$$p=\frac{1}{3}\rho v^{2}, \tag{22}$$

pri čemu je uvedena gustina mase idealnog gasa, $\rho =nm$. Približno, $mv^{2}$ je dvostruka srednja kinetička energija jednog molekula. Tako da imamo i

$$p=\frac{2}{3}nE_{\text{k}1}. \tag{23}$$

Naravno, u izraz za kinetičku energiju ulazi ne prosto srednja brzina, ne ni najverovatnija brzina, nego po prirodi stvari srednja kvadratna brzina, koju smo napisali u našoj jednačini (13b).

Jednačina stanja idealnog gasa

Iz upravo pomenute formule za srednju kvadratnu brzinu molekula u gasu sledi $m\overline{v^{2}}=3k_{\text{B}}T$, a ovo je dvostruka vrednost srednje kinetičke energije jednog molekula. Zato možemo odmah da pišemo

$$pV=Nk_{\text{B}}T. \tag{24}$$

Podelimo i pomnožimo desnu stranu jednačine sa Avogadrovim brojem:

$$pV=\frac{N}{N_{\text{A}}}\left(N_{\text{A}}k_{\text{B}}\right)T. \tag{25}$$

Sećamo se da je $\nu =N/N_{\text{A}}$ količina supstancije. Uvedimo novu konstantu

$$R=N_{\text{A}}k_{\text{B}}. \tag{26}$$

Ona se zove univerzalna gasna konstanta. Lako je izračunati $R=8314\;\text{J}/\left(\text{kmol}\cdot \text{K}\right)$. Dakle:

$$pV=\nu RT. \tag{27}$$

Ovu jednačinu zovemo jednačina stanja idealnog gasa. Ona povezuje tri veličine stanja gasa: pritisak, zapreminu i temperaturu. Kada je jedna od njih konstantna, međusobni odnos druge dve možemo da analiziramo iz jednačine stanja. Tradicionalno, ti postupci imaju i svoja specifična imena:

R. Boyle (1627 — 1691), J. L. Gay-Lussac (1778 — 1850), J. A. C. Charles (1746 — 1823)

1) Ako je temperatura u sudu konstantna, tada jednačina stanja ima oblik $pV=\text{const}$; ovu relaciju zovemo Bojl-Mariotov zakon.

2) Ako je pritisak u sudu konstantan, tada jednačina stanja ima oblik $V=\text{const}\cdot T$; ovu relaciju zovemo Gej-Lisakov zakon.

3) Na kraju, ako je zapremina suda fiksna, jednačina stanja ima oblik $p=\text{const}\cdot T$; ovu relaciju zovemo Šarlov zakon.

Ovde nećemo posebno analizirati ove zakone.

Srednja dužina slobodnog puta

Molekuli gasa se haotično pomeraju — stalno se kreću i pri tome se povremeno međusobno sudaraju. Rastojanje između dva uzastopna sudara istog molekula naziva se dužina slobodnog puta molekula. Dužina slobodnog puta je promenljiva, ali zbog velikog broja molekula u gasu, može se govoriti o srednjoj dužini slobodnog puta.

Obeležimo srednju dužinu slobodnog puta sa $\bar{\lambda}$. Ova dužina je u osnovi put koji molekul pređe u jedinici vremena (a to je srednja brzina molekula $\bar{v}$), podeljen srednjim brojem pretrpljenih sudara $\bar{Z}$:

$$\bar{\lambda}=\frac{\bar{v}}{\bar{Z}}. \tag{28}$$

Uprošćenim razmatranjem procenimo srednji broj sudara. Zamislimo molekul kao kuglicu poluprečnika $r$, koja se kreće pravolinijski (premda se neprestano sudara sa drugim molekulima). U jedinici vremena, on će se sudariti sa svim molekulima, čiji su centri u zamišljenoj cilindričnoj zapremini poluprečnika 2r, u koju dati molekul upravo ulazi.

Sl. 10 Približan način izvođenja kolizione učestanosti

Srednji broj sudara je

$$\bar{Z}=\frac{N}{\Delta t}. \tag{29}$$

Broj molekula u posmatranom cilindru, ako je koncentracija $n$, iznosi:

$$N=n\;4r^{2}\pi \bar{v}\Delta t. \tag{30}$$

Za srednji broj sudara dobijamo

$$\bar{Z}=4r^{2}\pi \bar{v}n. \tag{31}$$

Nešto precizniji rezultat navodimo bez obrazlaganja:

$$\bar{Z}=4\sqrt{2}r^{2}\pi \bar{v}n. \tag{32}$$

Zamenimo ovu vrednost u relaciju (28); nalazimo

$$\bar{\lambda}=\frac{1}{4\sqrt{2}\;r^{2}\pi n}. \tag{33}$$

Prečnik molekula je $d=2r$. Od ranije znamo da je koncentracija u idealnom gasu $n=p/k_{\text{B}}T$. Dobijamo na kraju ovakav rezultat:

$$\bar{\lambda}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi }\frac{k_{\text{B}}}{d^{2}}\frac{T}{p}. \tag{34}$$

Srednja dužina slobodnog puta je obrnuto srazmerna pritisku gasa. Ako je temperatura konstantna, onda srednja dužina slobodnog puta raste kad pritisak opada; gornja jednačina se može napisati u obliku:

$$\bar{\lambda}\cdot p=\text{const}. \tag{35}$$

Srednja dužina slobodnog puta je mera stepena razređenosti gasova, ona na očigledan način opisuje nivo vakuuma u datoj zapremini.

Maksvelov demon

U kocki zapremine $V=1$ kubni centimetar nalazi se kiseonik na temperaturi $t=0$ stepeni Celzijusa i pritisku $p=760$ milimetara živinog stuba. Kocka ima mali otvor, pored otvora sedi stražar i svake sekunde pusti napolje milion molekula. Stražar mora biti na radnom mesto dok ne izađe i poslednji molekul. Koliko će trajati ta obaveza?

Krenimo od jednačine stanja idealnog gasa u obliku

$$p=nk_{\text{B}}T. \tag{36}$$

Pritisak je dat u jednoj starinskoj, mada praktičnoj jedinici: milimetar živinog stuba. Nama neće biti teško da preračunamo pritisak u paskale. Zamislimo čašu sa živom; pritisak na njenom dnu iznosi $\rho gh$. Gustina žive je $\rho =13600$ kilograma po kubnom metru. Ako je visina $h$ jedan milimetar, pritisak iznosi 133 paskala. Pogledajmo dalje:

Apsolutna temperatura $T$ je 273 K, pošto su Kelvinova i Celzijusova skala povezane na poznati način:

$$T=t+273. \tag{37}$$

Sad smo spremni da izračunamo broj molekula u kubnom centimetru za datu temperaturu i pritisak:

$$n_{\text{L}}=\frac{p}{k_{\text{B}}T}=2,7\cdot 10^{19}\text{cm}^{-3}. \tag{38}$$

Ovaj karakterističan broj zove se Lošmitov broj (Lošmit: istaknuti austrijski prirodnjak devetnaestog veka; bio ubeđen u molekulsku strukturu supstancije i vrlo rano briljantno određivao moguće dimenzije molekula; u njegovoj biografiji stoji podatak o teškoj ličnoj nesreći — doživeo je smrt desetogodišnjeg jedinca).

Ako je brzina isticanja molekula kroz đavolja vrata $N_{1}=10^{6}/s$, poslednji molekul će izaći kroz interval vremena

$$\Delta t=\frac{n_{\text{L}}}{N_{1}}. \tag{39}$$

Jedan sekund je, vrlo približno, tri stomilionita dela godine. Zato lako izračunavamo da je $\Delta t\sim$ milion godina.

Zaista je broj molekula u kubnom centimetru nezamislivo velik broj… (Napomena: ukucajte u neki Internet pretraživač pojam Maxwell’s demon i čitajte dalje!)

Dva eksperimentalna zadatka

a) U plastičnu čašu od kokte ubačen je novogodišnji balon, pa je onda naduvan. Postoji način da balon ostane naduvan u flaši (videti sliku), mada gornji kraj nije zatvoren! Objasnite pojavu. Izvedite eksperiment.

Čudo neviđeno: Balon u flaši

b) U stakleni balon zatopljena je vertikalna osovina sa četiri metalne lopatice. Naličje svake lopatice je nagaravljeno. Sistem može da se vrti praktično bez trenja. Posmatrajte obrtanje lopatica kad prinesete plamen upaljača. Objasnite kvalitativno pojavu.

Neurotične lopatice