Физичка формула у продавници тајни

Милош Бабовић^1^ и Вукота Бабовић^2^

^1^ Нови Београд, Париске комуне 33; milos.babovic@gmail.com

^2^ Београд, Пива Караматијевића 29; bavukot@gmail.com

Пролог

Познати италијански писац, многоструко обдарени уметник Дино Буцати сачинио је лични избор из мноштва својих добрих кратких прича, две године пре смрти 1972, те од њега направио збирку „Продавница тајни”. Ми смо књигу читали у преводу са италијанског Цвијете Јакшић [1].

Нашу пажњу привукла је прва прича у збирци насловљена „Седам гласника”. Заузима тек четири странице. Написана је мајсторски, не треба сумњати, с великим уметничким интензитетом; узбудљив садржај предочен с дубоким увидом у човекову потребу да испитује границе своје егзистенције и домете мисаоног прегнућа.

Импулс нашој пажњи дало је запажање да се у позадини радње крије — једна формула из физике. Поставили смо себи задатак да изведемо формулу и да што транспарентније прикажемо пишчево ишчитавање последица формуле. То је посао који нам је, напоменимо одмах, пружио велико задовољство које желимо да поделимо са читаоцима Младог физичара: постали смо сведоци стваралачког поступка, како се факти једне научне, конкретно механичке и уже узето кинематичке ситуације претапају у психолошке и филозофске увиде високог уметничког нивоа приповедања. Сиже приче је овакав:

Седам гласника

Један принц немирног духа кренуо је, већ као тридесетогодишњак, да испита границе поседа свога оца краља. После два дана пута принц је увидео да тих граница није било ни на видику. Истовремено се зазелео информација из родног дома. Изабрао је седам поузданих коњаника из своје пратње да буду гласници који ће доносити вести принчевом каравану. Принц прича:

„Ненавикнут да будем далеко од куће послао сам тамо првог, Александра, увече другог дана пута, када смо прешли већ осамдесетак миља. Сутрадан увече, да бих био сигуран у континуитет комуникација, послао сам другог, затим трећег, затим четвртог, једног за другим, све до осме вечери пута када је кренуо Грегорио. Први се још не беше вратио.”

Али, сад застанимо. Како писац овако лаконски извештава читаоца да се Александар није вратио ни до осмог дана путовања? Шта он то зна што је читаоцу недоступно у првом моменту упознавања са ситуацијом? Ту смо први пут посумњали да писац нешто скрива од нас. Изгледа чита неке податке из уџбеника физике на свом радном столу!

Постмодернистички манир писања има своје законитости. Факти морају бити беспоговорно тачни. На њима почива уверљивост приче, иначе све виси у ваздуху као пука произвољност. Све друго: околности, људи и релације међу људима и појавама могу бити ствар фикције. Могу се сусретати историјске личности и измишљене личности. Али чим седну да попију пиће, на пример, то пиће мора бити стварно оно које се у том добу конзумирало. Да појаснимо ствар, предлажемо малу дигресију, испричајмо једну забавну епизоду.

Невоље Данила Киша

Наш писац Данило Киш био је врсни познавалац закона постмодернистичке прозе. Ретко кад је правио грешке у оквиру жанра. Једном је затражио од Маргерит Јурсенар да прочита његову књигу прича „Гробница за Бориса Давидовича” и да евентуално оцени уметничке домете те књиге. Пошто је пажљиво прочитала текст, француска нобеловка, ауторка романа „Хадријанови мемоари”, рекла је Кишу отприлике ово: У време одвијања радње једне од прича у збирци још није био пронађен сир који се тамо помиње. Господине Киш, Ваши књижевни јунаци једу непостојећи сир! [2]

Видимо, сир је ту схваћен као факат једног времена, материјал „уземљења” приче; људи који га једу могу бити измишљени, али сир је сир и без њега нема уверљивости приповедања. (Сведоци причају да је Киш тешко поднео ову разорну критику; био је спреман да стави на ломачу цело издање своје књиге, пао је у депресију због опаке повреде жанровских правила.¹)

Зато смо се забринули читајући недореченог Буцатија. Били смо потпуно уверени да принц даје истинит податак да је добио вести од куће десетог дана путовања каравана. У ту се чињеницу не може сумњати. Прича стоји на чврстом тлу уверљивости. Говорећи речником електроинжењера, електрично кола мора да се уземљи. Само уземљене приче нас плене аутентичношћу. Вратимо се после ове корисне дигресије нашем каравану.

Решавамо загонетку: једначина гласника

Први гласник Александар са жаљењем је обавестио принца да није могао да постигне планирану брзину путовања (двапут већу од брзине кретања каравана), већ да је путовао само 20 миља брже од каравана, дакле 60 миља на дан.

Скупило се у причи већ довољно параметара да се и пажљиви читалац лати папира и оловке и да покуша да реши проблем. Видимо, караван путује брзином $v_{\text{K}}=40$ миља на дан. Александар каже да гласници путују брзином $v_{\text{G}}=60$ миља на дан. Принчев караван је кренуо на пут у тренутку $t=0$, а први гласник Александар се упутио назад према центру кралјевства у тренутку $t=\tau$.

Можемо претпоставити да караван путује једноликом брзином и прелази пут $X$ за време $t=X/v_{\text{K}}$ У том случају Александар ће у повратку стићи принца после времена $t$, које се израчунава из следеће једначине:

$$X+v_{\text{K}}\tau =v_{\text{G}}\left(t-\tau \right) \tag{1}$$

Назовимо ову релацију једначина гласника. Из ње налазимо формулу

$$t=\frac{v_{\text{K}}+v_{\text{G}}}{v_{\text{G}}-v_{\text{K}}}\tau \tag{2}$$

Удобно је у овој формули мерити време у данима. Тако, $\tau$ казује после колико дана путовања каравана је кренуо гласник на свој задатак, а $t$ казује после колико се дана путовања каравана вратио гласник. Пошто знамо износе брзина можемо писати $\left(v_{\text{K}}+v_{\text{G}}\right)/\left(v_{\text{G}}-v_{\text{K}}\right)=\left(40+60\right)/\left(60-40\right)=5$ и стога

$$t=5\tau \tag{3}$$

То је та једноставна линеарна веза коју аутор приче повремено погледује. Проверимо помоћу ње податак да се Александар вратио десетог дана путовања каравана. Заиста, пошто је $\tau =2$ дана, формула (3) даје $t=10$ дана. Гласник Александар вратио се из престонице краљевства на крају десетог дана путовања каравана, како је и наведено у причи. Сада нам је лакше; са симпатијама према писцу и с поверењем у причу настављамо да пратимо догађаје.

Један помоћни дијаграм

Овде је прилика да погледамо слику 1. Дијаграм приказује криву $Y=f\left(X\right)$ где је $Y=\left(v_{\text{K}}+v_{\text{G}}\right)/\left(v_{\text{G}}-v_{\text{K}}\right)$ а $X=~~v_{\text{G}}/v_{\text{K}}$. Кад знамо количник две релевантне брзине можемо прочитати на ординати колико прође дана између доласка два узастопна гласника. Крива појашњава зашто се гласник вајка што не може да путује брзином $v_{\text{G}}=2v_{\text{K}}$; јер да може, вести би стизале принцу сваког трећег дана, а не сваког петог — разлика је знатна.

Slika 1

(Стрелица која полази из апсцисе $X=2$ води даље на ординату $Y=3$.) Приметимо да постоји вертикална асимптота $X=1$; гласник чија се брзина мало разликује од брзине каравана практично је неупотребљив. Исто, постоји и хоризонтална асимптота $Y=1$ која каже да брзи гласник доноси вести са малим закашњењем, које је све мање при све бржем путовању гласника. А сада наставимо причу, шта је било после Александровог доласка.

Матрица гласника — први циклус

Када се вратио други гласник, Бартоломео? Он је стартовао крајем трећег дана путовања каравана ($\tau =3$). Због тога за њега једначина (3) даје $t=5\cdot 3=15$. Бартоломео је донео „свеже” вести принцу после 15 дана путовања каравана! Принц је лако сад генералисао: интервал између доласка два узастопна гласника износи 5 дана; збиља, тако следи и из наше формуле (3), ако је $j=i+1$:

$$\Delta t=t_{\text{j}G}-t_{\text{i}G}=5\left(j-i\right)=5 \tag{4}$$

Седми гласник, Грегорио, кренуо је на пут крајем осмог дана путовања каравана. Зато се он вратио да се придружи каравану четрдесетог дана путовања, јер је $t=5\cdot 8=40$.

Корисно је да овде приложимо прву од пет табела које смо саставили на основу формуле (3). У њој су горњи подаци систематизовани.

Tабела 1. Матрица гласника; први циклус

Ime		$\tau$	$t$	$\Delta t$
A I		2	10
B I		3	15	5
C I		4	20	5
D I		5	25	5
E I		6	30	5
F I		7	35	5
G I		8	40	5

Имена гласника (Александар, Бартоломео, Цај, Доменико, Еторе, Федерико и Грегорио) смо обележили поченим словом у првој колони. Друга колона казује крајем којег дана је дати гласник први пут стартовао на свој задатак; полазили су сваког дана један за другим. У трећој колони су подаци за дан повратка. Четврта колона казује да су се гласници враћали са интервалом од пет дана.

Матрица гласника — други циклус

Погледајмо шта се даље дешава. Почиње други циклус слања гласника. Један од њих стартовао одмах по Александровом доласку, па за њега треба ставити у формулу (3) $\tau =10$. Тај се гласник вратио по истеку педесетог дана ($5\cdot 10=50$). Онај гласник који је стартовао после доласка Бартоломеа (крајем 15. дана), стигао је караван кад је прошло 75 дана путовања, јер је по формули (3) $5\cdot 15=75$. И већ наслућујемо: у другом циклусу путовања гласника интервал између доласка два узастопна гласника износи $75-50=25$.

Оно што је првом гласничком циклусу било 5 дана, сада је нарасло на 25 дана! Ове и друге детаље можемо систематизовати у другој табели Матрице гласника (нема потребе да мењамо имена гласника):

Tабела 2. Матрица гласника; други циклус

Ime	$\tau$	$t$	$\Delta t$
A II	10	50
B II	15	75	25
C II	20	100	25
D II	25	125	25
E II	30	150	25
F II	35	175	25
G II	40	200	25

Матрица гласника — трећи циклус

Вести су дакле све бајатије. Јасно је да ће временом такво стање само да се погоршава. Већ у трећем циклусу слања гласника био је принц очајан. Погледајмо предвиђања у трећој табели.

Tабела 3. Матрица гласника; трећи циклус

Ime	$\tau$	$t$	$\Delta t$
A III	50	250
B III	75	375	125
C III	100	500	125
D III	125	625	125
E III	150	750	125
F III	175	875	125
G III	200	1000	125

Дошао је период слања гласника по трећи пут. Тек што је стигао педесетог дана, стартовао је Александар у трећем циклусу слања гласника; вратио се 250. дана. Његов сукцесор, Бартоломео, за којег сад важи $\tau =75$, вратио се после истека 375 дана. Очито се драстично повећао интервал пристизања гласника.

Интервал је сада у трећем циклусу износио $375-250=125$ дана. Такве су последице примене формуле (3).

А то значи да принц добија новости приближно тек сваког четвртог месеца! Караван је тада био већ више од пола године на путу, удаљавајући се константном средњом брзином од центра краљевства.

Ближи се расплет драме

Караван је и даље путовао. Сада су нам потребне још две табеле:

Tабела 4. Матрица гласника; четврти циклус

Ime	$\tau$	$t$	$\Delta t$
A IV	250	1250
B IV	375	1875	625
C IV	500	2500	625
D IV	625	3125	625
E IV	750	3750	625
F IV	875	4375	625
G IV	1000	5000	625

Tабела 5. Матрица гласника; пети непотпуни циклус

Ime	$\tau$	$t$	$\Delta t$
A V	1250	6250
B V	1875	9375	3125
C V	2500	12500	3125
D V	3125	15625	3125

Обратите пажњу на врсту D IV у четвртом циклусу. (Замишљамо писца Буцатија за радним столом; и он има сличне табеле и повремено прорачунава.) Сад пише:

“Али прошло је осам и по година (наш коментар: 3125 дана). Вечерас сам вечерао сам у свом шатору, кад је ушао Доменико, који је још некако успевао да се смеје, мада је био скрхан од умора. Близу седам година га нисам видео (наш коментар: 3125 дана минус 625 дана једнако 2490 дана, или 6,8 година). За све то дуго време он је само јурио кроз ливаде, шуме и пустиње, мењајући коње ко зна колико пута, да би ми донео овај пакет коверата које до сада нисам имао жеље да отворим. Он је већ отишао да спава и сјутра у зору ће поново кренути.” А онда и ово читамо:

„Кренуће последњи пут. У бележници сам израчунао да ћу, ако све буде у реду, ако ја наставим пут као досад, и он свој, Доменика моћи да видим тек за тридесет четири године (наш коментар, гледајући табелу петог циклуса: 15625-3125=12500 дана, то јест око 34 године). Ја ћу тада имати седамдесет две године. Али почињем да се осећам уморним и вероватно ће ме смрт затећи раније. Тако да га више никад нећу видети.”

Следећи пасус у причи наводимо не због физике, већ због трагике живота коју Буцати маестрално слика. Не замерите што инсистирамо да детаљу који није примаран за физику приче:

„За тридесет четири године (штавише, пре, много пре) Доменико ће неочекивано угледати ватре мога логора и питаће се како то да сам ја у међувремену превалио тако мало пута. Као вечерас, добри гласник ући ће у мој шатор са писмима пожутелим од година, препуних апсурдних вести о једном давно сахрањеном времену, али застаће на прагу, видевши ме како непокретан лежим на лежају, а два војника поред мене с бакљама, мртав”. Узгред, упућујемо благу критику аутору, због оног ‘штавише, пре, много пре’. Превише је лаконски, и за једног физичара; Требало је тај песимизам мало поетски развити. У ствари, принц оставља могућност да ће умрети одмах после 71. рођендана (у складу са речима ‘вероватно ће ме смрт затећи раније’). И још нешто: Буцати не коментарише колико је то краљевство из његове приче, а занимљиво је. Па, бар трећина обима Земље, проверите!

Једна мала генерализација

Додајмо овој литератури још мало физике. Реч је о једној малој генерализацији. Она важи за узастопне гласнике. Видели смо да је први гласник кренуо после $\tau =2$ дана, а стигао на крају десетог дана. Ставимо зато $t_{1}=10.$ За гласника који одмах путује после њега важи $t_{2}=K\tau _{2}$ , где је $K=\left(v_{\text{K}}+v_{\text{G}}\right)/\left(v_{\text{G}}-v_{\text{K}}\right)$, а $\tau _{2}=t_{1}$. Тако налазимо

$$t_{2}=K^{2}\tau \tag{5}$$

За гласника који је стартовао одмах после доласка другог гласника важи $\tau =t_{2}$. После замене налазимо

$$t_{3}=K^{3}\tau \tag{6}$$

Општа формула очигледно гласи

$$t_{\text{n}}=K^{\text{n}}\tau \tag{7}$$

Фактор $2K^{\text{n}}$ нам говори после колико дана се вратио гласник реда n, то јест колико дана је караван удаљен од центра краљевине.

Епилог

Принц је убрзо зажалио што је имао само седам гласника, требало му је више њих у датим околностима. Принц не каже колико баш, па поставимо и то питање: да је принц могао сваког дана да шаље по једног гласника, колико би то било људи, а да има смисла?

Три хиљаде и сто петнаест дана после старта каравана кренуо би гласник на пут, с перспективом да се врати и преда извештај принцу после 15575 дана путовања каравана (нешто мање од 43 године). Ово стога што је $t_{\text{kraj}}=5\cdot 3150=15575$ дана. Дакле, то је тај гласник који је успут затекао принца на одру. Следећи гласник је сувишан. Принцу су потребна 3115 гласника, али не више од тога, да би сваког дана пута слао по једног на задатак и имао сваког петог дана извештај са двора. Принц је кренуо на пут кад је имао нешто мало више од 30 година (узмимо 31.5 година). Кад је последњи гласник (3115.) кренуо на задатак принц је био на путу приближно 8.5 година и имао, дакле, 40 година живота. Да би дочекао тог гласника треба му 4 пута 3115 дана , или 12460 дана, то јест 34 године. У моменту сусрета принц би морао имати 74 године. У причи, принц није доживео ту старост, то је био крај подухвата негде после 73. принчевог рођендана. Закључак:

Максималан број гласника које би требало да има принц кад је караван кренуо износи $N_{\max }=3115$. Више од тога било би непотребно монархистичко извољевање.

Литература

[1] Дино Буцати, Продавница тајни, Сфаирос, Београд 1996.

[2] Драган Бањац, Земун — ослобођени град, часопис ‘Република,’ број 494-495.

Footnotes

1. Цела епизода опомиње да је скретање са стазе чињеница човеку једноставније него што и сам сме да призна: чак и сам приповедач анегдоте, Кишов пријатељ Мирко Ковач, поставља радњу приче у погрешан век! ↩